Applicazioni del teorema di Gauss

a) Campo elettrico originato da una carica puntiforme.


Consideriamo una carica puntiforme positiva Q ed un punto P distante d dalla carica. Consideriamo la superficie chiusa sferica S avente la carica al suo centro. Si può affermare che il vettore spostamento elettrico D è sempre ortogonale alla superficie e costante per qualunque punto sulla superficie (quindi a = 0 e cos(a) = 1 ). Il flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie varrà quindi :

FS(D) = D·S·cos(a) = D·4·p·d2 [C]

Applicando il teorema di Gauss sarà D·4·p·d2 = Q.

Ricordando che in ogni punto del campo elettrico è D = e·E , sostituendo si avrà :

che è quanto cercato.

b) Capacità di un condensatore con armature piane e parallele.

Consideriamo l'armatura carica positivamente Q ed applichiamo il teorema di Gauss alla superficie chiusa SC che racchiude tale armatura. Siccome il campo elettrico è praticamente nullo esternamente allo spazio racchiuso tra le armature, è costante e normale alla superficie internamente alle armature, possiamo limitarci a considerare la sola parte della superficie chiusa SC coincidente con la superficie interna S dell'armatura stessa e scrivere :

FSC(D) = FS(D) = D·S = e·E·S = Q [C]

Ricordando che il campo elettrico uniforme tra le armature distanti d del condensatore è legato alla tensione V applicata tra le armature stesse dalla relazione E = V / d , sostituendo nella espressione precedente e risolvendo rispetto alla Q si ottiene infine :

dove, per omogeneità dimensionale deve essere :

la capacità del condensatore.